经济增长理论一
CH 11 经济增长理论（一）
一、哈罗德一多马模型
（一）哈罗德-多马模型的基本假设条件
① 假定储蓄S 与国民收入Y 呈一种简单的比例函数：S=sY ，这里s 为平均和边际储蓄倾向。
② 假定劳动力以不变的外生比率n 增长，且L L n ?
= ③ 假定没有技术进步，并对资本存量K 不进行折旧。
上述假定对哈罗德模式并不是必要，其目的仅仅是为了简单化。
④ 在哈罗德模式中，假定生产函数具有固定系数的性质，生产一单位的产出Y 需要劳动L 和资本K 惟一给定，即：
??
?
???=u L v K Y ,min
（二）哈罗德-多马模型的基本公式
一个经济社会的资本存量K 和总产出Y 之间存在一定的比例，即： K=V Y 从而 ?Y= V ?K 其中,V 被称为资本-产出比。 定义经济的储蓄率为s ?K =I=S= sY= ?Y/V 则
G=?Y/Y=s/V
即为哈罗德-多马模型的基本公式。它表明，当经济处于均衡时，国民收入增长率等于该社会的储蓄率除以资本产出比。
（三）哈罗德-多马模型的含义
1.哈罗德—多马模型从凯恩斯的S=I这一公式出发，认为要使经济均衡增长，一个国家每一时刻的储蓄应当全部转化为投资。
2.由于储蓄比例和资本生产率共同决定经济增长率，因而即可以在资本生产率既定的条件下，用改变储蓄比例或投资比例的办法来改变经济增长率，也可以在储蓄比例不变的前提下，用改变资本生产率的办法来使经济增长率发生变动。
3.哈罗德—多马模型的经济增长模型认为，凯恩斯用短期分析法，从有效需求不足出发，只注意投资在增加总需求方面的作用，未注意到投资在总供给方面的作用。由于投资能形成新的生产能力，所以投资具有两重性，一方面可以增加总需求，另一方面具有生产能力效应,可以增加总供给。
（四）均衡增长率、实际增长率与自然增长率
1.均衡增长率。均衡增长率(warranted rate of growth) ，也称为合意的(满意的、有保证的)增长率，是指保证总需求与总供给相
等的增长率。其公式为Gw=s
d /v
r
。其中,Gw表示均衡增长率；s
d
表示
意愿的(desired)储蓄率，即人们当前意愿储蓄的金额占其收入的比例；v
r
表示意愿的资本-产量比率，即理性的企业家认为理想的资本-产量率。
哈罗德指出，假设s
d 和v
r
既定，则在经济增长过程中，要实现
每一年的总需求与总供给均相等或平衡的均衡增长，必须有足够的有效需求，保证由需求带动的国民收入(产量)增长率Gw所引致的投资I(=Gw·v
r
)恰好能够完全吸纳既定的储蓄。
2.均衡增长率、实际增长率与经济周期
在实际生活中，由于储蓄不一定全部转化为投资，或总需求与总
供给不一定相等，Gw与G
A 也不可能完全一致。如果G
A
＞Gw，则社会
总需求超过扩大了的生产能力。为了弥补生产能力的不足，下一年的
投资必定超过储蓄，增加的投资通过乘数效应和加速效应的相互作用，对以后各年的收入、消费、投资变动产生连锁影响，即投资越来越大于储蓄，实际增长率与均衡增长率的差距必然越来越大，出现了生产、收入、消费与投资等累积性扩张的经济繁荣。如果此时已达充分就业或某些关键性产品出现“瓶颈”，就会产生需求拉上的通货膨胀。
如果G
A
＜Gw，则社会总需求小于社会总供给，市场疲软产品滞销，厂商的生产能力闲置，开工不足；存货超过了正常周转必需的正常存货量。于是厂商减少投资，通过乘数效应和加速效应的相互作用，对以后各年的收入、消费、投资变动产生连锁影响，即投资越来越小于储蓄，实际增长率与均衡增长率的差距必然越来越大，出现了生产、收入、消费与投资等累积性减缩的经济衰退和萧条。
因此，均衡增长途径被说成是“剃刀的锋口”，即均衡增长过程不易保持，只要实际增长率稍稍偏离了均衡增长率，两者的差距将越来越大，出现累积性经济增长或经济紧缩。从政策意义上说，要维持长期的均衡增长，政府有必要采取适当的措施，使实际增长率与均衡增长率保持一致。
自然增长率是考虑到长期中人口增长和技术变化的因素(主要
是人口变化)时的经济增长率，是指在人口(劳动力)按固定增长率增长（n）和技术水平变动条件下(a)社会可能实现的经济增长率。用
Gn代表自然增长率，则Gn=n+a。如果s
代表为实现Gn所需要的储
蓄率，则：Gn＝s
0/v
r
或s
＝Gn·v
r
。
哈罗德认为，自然增长率与均衡增长率之间的关系会有三种情况：
①Gw＞Gn，即s
d ＞s
，过度储蓄导致社会在长期内处于就业不足
的经济长期停滞趋势或叫慢性经济萧条。这就要求政府实施补偿性财政赤字政策，用政府赤字支出来弥补私人部门的投资不足。
②Gw＜Gn，即s
d ＜s
，表明私人部门意愿的储蓄不足以支持按自
然增长率增长所需要的储蓄。这就要求政府实施必要的财政盈余政策,以紧缩私人部门的有效需求，遏制经济过热，防止通货膨胀。
总之，①、②两种情况下都不能做到既没有通货膨胀又没有失业。
③只有Gw＝Gn这种情况，才是合乎理想的长期增长状态。
把均衡增长率、实际增长率、自然增长率三者结合起来考察，从长期看，充分就业稳定状态均衡增长的条件应当是：
G A＝Gw＝Gn
二、索洛和斯旺的经济增长模型
（一）问题的提出
1.什么因素决定了经济增长？生产函数的分解
2.经济增长的一般趋势是什么？
3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？
4.穷国能否赶上富国？ （二）生产函数
1.投入与产出的函数形式
))()(),(()(t L t A t K F t Y =
其中，Y 为产量，K 为资本，L 为劳动力，A 为知识或劳动的有效性，t 表示时间
注意：AL 为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”
思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ [只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]
2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：
F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0
含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要
令c=1/AL,则),(1
)1,(
AL K F AL
AL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)
（2）边际产品递减：
f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】
Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：
)('1
)('k f AL
k ALf K Y ==?? 有效劳动的边际产品为：
)(')(])
()[(')()(2
k kf k f AL K
k ALf k f AL Y -=-+=?? （3）稻田条件（Inada Conditions ）：
∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k
一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示
f(k)
k
一个特殊的生产函数：C-D 生产函数
)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<α
αα
k AL
K AL K F k f ===)()1,()(
思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
3．生产投入品的变动
假设时间t 是连续的（非离散的）
（1）劳动力的增长：n t L dt t dL t L t L ==?
)(/]/)([)(/)( （2）知识的增长：g t A dt t dA t A t A ==?
)(/]/)([)(/)(
其中n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度
思考：L ，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长：)()(]/)([)(t K t sY dt t dK t K δ-==?
其中s 为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量 （三）平衡增长路径 1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 )
()()
()(t L t A t K t k =
, 先做变换，两边取自然对数
)(ln )(ln )(ln )(ln t L t A t K t k --= 对t 求导数，得：
)
()
()()()()()()(t L t L t A t A t K t K t k t k ?
???--= )()
()()()()()()()()()()(t k t L t L t k t A t A t L t A t K t K t K t k ?
?
?
?
--=
代入，有：g t k n t k t L t A t K t sY t k )()()
()()
()()(---=
?
δ )()()()
()()
(t gk t nk t k t L t A t Y s
---=δ
)()()())((t gk t nk t k t k sf ---=δ )()())((t k g n t k sf δ++-=
)()())(()(t k g n t k sf t k δ++-=?
是索洛模型的基本微分方程，
它表明)(t k ?
是k 的方程。
含义说明：人均实际投资))((t k sf 用于两方面：一是“资本的深化”，即)(t k ?，二是“资本的广化”（“持平投资”），即)()(t k g n δ++。
（2）稳态均衡
定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即
)(t k ?
=0。
当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ?>0（储蓄大于投资） 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ?
<0（储蓄小于投资） 当))((*
t k sf =)()(*
t k g n δ++时，)(t k ?
=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。无论k 从何处开始，它都收敛于k*。
（3）图示： 稳态均衡图示1
)()(t k g n δ++
))((t k f
))((t k sf
k* k
稳态均衡图示2
)
(δ++g n
k k sf /)(
k* k 证明：
0')(')(]/)([]/)([2
2<-=--==k F s
k k kf k f s dk k k f d s dk k k sf d AL
稳态均衡图示3（k 的相图） 2.平衡增长路径
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？
注意：区分各变量（X ）与时间（t ）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 [dX(t)/dt]/X(t)。
结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。
（四）非均衡动态与收敛 考察两个非均衡问题：
（1）当经济增长处在非稳态时（k ≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）
（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态
定义k 的增长率)(/)(/δγ++-==?
g n k k sf k k k ， 当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ?>0； 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ?
<0。
非稳态动态图示1
)()t k δ+
k
非稳态动态图示2
)δ++g
k /)
这表明k 离k*越远，其增长率（正或负）越大。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）
接下来，可以证明索洛模型中的其他变量的非均衡动态增长率与
λk 保持比例或线形关系，例如：
λαλγk K k y
k f k kf k f k k f y y ====?
?)](/)('[)(/)('/ g n k
K
++=γγ
因此，对k 的非均衡动态分析可以同样适用于X 。
结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。
2．绝对收敛与相对收敛
对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。
绝对收敛：在人均量上穷国趋于比富国增长更快的假说——不以经济的任何其他特征为条件——被称为绝对收敛。
相对收敛一个经济离其自身的稳态值越远，增长就越快。
条件收敛的图示：
)δ++g
k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的人均增长率（比较：考虑k k ??γ<0）。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。
3．收敛的速度
考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳
态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。
关键在考察k 以多快的速度趋近k *。
由平衡增长的条件可知：)(k k k =?，在k=k*处对)(k k ?
作一阶泰勒级数近似，可得：
*))()
((
*k k
k
k k k k k -??≈=?
?
)(*)(')(*δ++-=
??=?
g n k sf k
k k k k
)(*)
(*)('*)(δδ++-++=g n k f k f k g n
)](1*)([δα++-=g n k K
因此*])()[*)]((1[)(k t k g n k t k K -++--≈?
δα
含义：在平衡增长路径上，k 向k*收敛的速度与k 与k*之间的距离成比例。
令*)()(k t k t x -=，“收敛系数”))(1(δαλ++-=g n K ，则)()(t x t x λ-≈?
，所以x 的路径为e x t x t λ-=)0()(（指数增长）
，即： *))0((*)())(1(k k e k t k t g n K -≈-++--δα
可以证明，*))0((*)())(1(y y e y t y t g n K -≈-++--δα。
举例：假设%6=++δg n ，K α=1/3，则%4=λ（表示k 和y
向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。
证明：5.0=-e t λ，1804.0/2ln /)5.0ln(≈=-=λt （五）黄金律、最优消费和黄金率资本存量水平 产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费)()(k sf k f c -= 令c=c*（处在平衡增长路径上），则：*)(*)(*k sf k f c -= 由于))((*t k sf =)()(*t k g n δ++， 所以，*)(*)(*k g n k f c δ++-=
目标为人均消费最大化，令0*/*=??k c ，则
δ++=g n k f g o l d *)('，即为最优消费的一阶条件，该 *k gold 为黄金
资本存量水平，最优消费*)(*)(*gold gold gold k sf k f c -=，这被称为“黄金律”（菲尔普斯，1966）。
《圣经》黄金律：无论何事，你想别人怎样待你，你也要怎样待人。《圣经．马太福音》第七章第十二节。 图示：
)('k f )(k f
)()(t k g n δ++ c gold
)(k sf
k*gold k
再考虑储蓄率s 变化对消费c*的影响。 由平衡增长路径的稳定条件可知：
),,,(**δg n s k k =，由此*)(*)(*k g n k f c δ++-=两边对s 求
导，有：
s
g n s k g n g n s k f s c ??++-=??)
,,,(*)]
()),,,(*('[*δδδ s g n s k ??),,,(*δ>0,因此s c ??*
的符号决定于)),,,(*('δg n s k f 与
)(δ++g n 的大小。
当gold k k **<，)),,,(*('δg n s k f >)(δ++g n , s
c ??*
>0 当gold k k **>，)),,,(*('δg n s k f <)(δ++g n ,s
c ??*
<0 因此s 与c*的关系为： c* c gold
s gold s
（六）储蓄率变动的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：
（1）对稳态均衡的影响；
（2）两个稳态均衡之间的动态路径；
（3）对长期增长的影响程度；
（4）对长期增长的影响持续时间。
1．储蓄率变化的比较静态均衡
图示1
δ
k
)(
)t
k
图示2
+g
+
)δ
k
2. 储蓄率变化的动态影响
（1）对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。
k
t 思考：s与k的动态变化有何不同？
（2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。
思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。
Y/L增长率
t ln(Y/L)
t 思考：储蓄率变动对K 、Y、K/Y的动态影响如何？
结论：
（1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地
影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。
（2） 只有技术进步率的变化有增长效应。 （3） 政策含义：投入驱动的增长不会持续。 3.储蓄率变化对产出的长期影响
考察储蓄率s 变化对有效劳动人均产出y 的影响（弹性分析）。 由),,,(**δg n s k k =可知：
s
g n s k k f s y ??=??)
,,,(**)
('*δ 由平衡增长的条件0=?
k 得到：
),,,(*)()),,,(*(δδδg n s k g n g n s k sf ++=
两边对s 求导数，
s k g n k f s k k sf ??++=+??*
)
(*)(**)('δ 解得：*)
(')(*)(*k sf g n k f s k -++=??δ 则
*)
(')()(*)('*k sf g n k f k f s y -++=??δ 两边同乘s/y*，并用*)(*)(k g n k sf δ++=代换s ，得到：
*)
(')()
(*)('*)(**k sf g n k f k f k f s s y y s -++=??δ
*)]
(/*)('*)()[()(*)('*)(*)(2
k f k f k g n g n k f k f k f k g n δδδ++-++++= *)](/*)('*)()*)[((*)
('*)(k f k f k g n g n k f k f k g n δδδ++-++++= *)]
(/*)('*[1*)
(/*)('*k f k f k k f k f k -=
定义*)(/*)('*k f k f k 为k=k*处的产出的资本弹性*)(k K α，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？）
因此*)(1*)(**k k s y y s K K αα-=??，s
y y s ??*
*为产出的储蓄率弹性。
举例：设*)(k K α=1/3，则s
y y s ??*
*=1/2，当储蓄率增加10%时，
人均产出长期内仅变化5%。
结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数”))(1(δαλ++-=g n K 与s 无关。
前例：假设%6=++δg n ，K α=1/3，则%4=λ（表示k 和y 向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。
因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。
结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
（七）对索洛模型的总结和评论 1．主要结论
（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。
（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
（3）人均产出（Y/L ）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。
（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。
2．批评
（1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
（2）理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。
例如：根据C-D 生产函数，αk k f y ==)(，一般的α=1/3，设穷国变量带*，若10*/=y y ，则100010*//1==αk k 。（如此大的资本存量差异！）
资本的边际产品y
k k f MP K α
αααα/)1(1)('--===，若
10*/=y y ，则100/1*/=K k MP MP 。（如此高的资本报酬率差异！）
（八）经验检验